جزئیات آموزش
مدرس: سجاد رحمانی
آخرین ویرایش: 09 ژانویه 2020
دسته بندی:

کانال تلگرام

بنر تلگرامی

فرمول انحراف معیار و فرمول واریانس + مثال از نحوه محاسبه و مفهوم

در این آموزش به توضیح مفهوم واریانس و انحراف معیار و همچنین فرمول واریانس و فرمول انحراف معیار می‌پردازیم و با مثال‌های مختلف، موارد مذکور تمرین می‌شوند و نحوه محاسبه و مفهوم آن‌ها درک خواهند شد!

مفهوم پراکندگی

یکی از شاخص‌ها پراکندگی است! شاید بپرسید یعنی چی؟! به مثال زیر دقت کنید، تا توضیح بدم!

نمره ۳ کلاس پنج نفره زیر رو در نظر بگیرید!

کلاس الف:

۲,۵,۷,۲۰,۲۰

کلاس ب:

۹,۹,۱۲,۱۲,۱۲

کلاس پ:

۱۰٫۸,۱۰٫۸,۱۰٫۸,۱۰٫۸,۱۰٫۸

خب اگر میانگین نمرات هر سه کلاس رو حساب کنید، میشه ۱۰٫۸ !

ولی قبول دارید این ملاک خوبی نیست؟! چون مثلاً به کلاس “پ” نگاه کنید! کاملاً مشخصه همه از روی هم نوشتن و تقلب کردن! چون همه شدن ۱۰٫۸ !

ولی کلاس “الف” بنده‌خدا رو نگاه کنید! تفاوت سطح بین دانش‌آموزان این کلاس بیداد میکنه! دو تا گرفتن ۲۰! بقیه نمرات هم فاجعه است!

کلاس “ب” هم تا حدی شبیه هم هستن!

پس قبول دارید در مورد اعداد صرفاً با میانگین نمیشه قضاوت کرد؟! پراکندگی هم معیار مهمی است!

برای محاسبه پراکندگی دو معیار خیلی مهم “واریانس” و “انحراف معیار” است! (البته معیارهای دیگه‌ای هم واسه سنجش پراکندگی وجود داره که ما باهاش کاری نداریم فعلا!)

مفهوم نمونه و جامعه [برای حفظ فرمول‌ها، تشخیص این مورد مهم است!]

مثلاً اگر کل کلاس “الف” ۵ نفر باشه و اون نمراتی که دیدید، مربوط به اون ۵ نفر باشه، پراکندگی یه چیز میشه!

اما اگر کلاس “الف” تعدادش مثلاً ۳۰ نفر باشه و این ۵ نفر، نمونه‌ای از کلاس باشن، فرمول محاسبه پراکندگی یه چیز دیگست!

وقتی کل کلاس ۵ نفر باشه و ما نمرات همه اون ۵ رو داشته باشیم، در این حالت داریم واریانس یا انحراف معیار جامعه رو حساب می‌کنیم! [یعنی کل کلاس یا همون جامعه رو در اختیار داریم!]

اما زمانی که فقط یک نمونه ۵ نفره از کلاس “الف” انتخاب کردیم و داریم انحراف معیار و واریانس این نمونه رو حساب می‌کنیم، میگن: انحراف معیار یا واریانس نمونه !

دونستن این مفهوم در فرمول‌ها از نون شب واجب‌تر بود!

فرمول واریانس

هشدار: خب! امیدوارم دو بخش قبلی [یعنی تیتر مربوط به مفهوم پراکندگی و مفهوم نمونه و جامعه رو مطالعه کرده باشید! وگرنه تقریباً قول می‌دم از این بخش خیلی متوجه نمی‌شید! لطفاً ترتیب رو بهم نزنید و برید اون پیش‌نیازها رو بخونید!]

تصویر زیر رو نگاه کنید تا روووی همین تصویر توضیح بدم!

فرمول های محاسبه انحراف معیار و واریانس

خب! Variance که همون واریانس است! Sample یعنی نمونه و population هم جامعه! پس اومدیم این شکلی فرمول‌ها رو از هم جدا کردیم!

در ضمن اون x̄ میانگین است! (نحوه خواندن: اِکْسْ بار!)[در واقع یه دونه X نوشتیم که بالای سرش یه خط گذاشتیم!]

هرچند نحوه محسابه میانگین یا همون x̄ از روز هم روشن‌تره، ولی برای محکم‌کاری فرمول اون رو هم نوشتیم! به بیان خودمونی، میانگین میشه مجموع مشاهدات تقسیم بر تعداد مشاهدات! (n همون تعداد مشاهدات است!)

مثال از نحوه محاسبه واریانس

برای اینکه مطمئن بشم، قشنگ یاد گرفتید، یه مثال باهم حل می‌کنیم و واریانس تک تک اون سه تا کلاس رو باهم حساب می‌کنیم!

به تصویر زیر دقت کنید! در تصویر زیر اومدیم واریانس نمونه سه کلاس الف و ب و پ رو حساب کردیم!

فرمول انحراف معیار و فرمول واریانس + مثال از نحوه محاسبه و مفهوم

همینطور که مشاهده می‌کنید دقیقاً طبق همون فرمول‌ها براتون واسه تک تک کلاس‌ها اومدیم variance رو محاسبه کردیم!

بازهم واضحه که پراکندگی (که واریانس معیاری از آن است) کلاس “الف” از همه بیشتره! بعدش پراکندگی کلاس “ب” بیشتره! پراکندگی کلاس “پ” بنده‌خدا هم که صفر است [چون همه از روی هم تقلب کردن و همه نمرات مثل هم شده]!

واسه اینکه مثالمون هم کامل بشه، بذارید بدون توضیح، نحوه محاسبه واریانس جامعه رو هم در تصویر زیر براتون قدم به قدم محاسبه کنم!

فرمول انحراف معیار و فرمول واریانس + مثال از نحوه محاسبه و مفهوم

فرمول انحراف معیار و مثال از نحوه محاسبه انحراف معیار

اگر بخش‌های قبلی رو نخوندید و یه راست اومدید اینجا، مطمئن باشید، خیلی چیزی دستگیرتون نمیشه! پس لطفاً پیش‌نیازهای لازم رو اول رعایت بکنید بعد بیاید اینجا!

خب اگر بخش‌های قبل رو خونده باشید، دیگه راحتید! چون واسه محاسبه انحراف معیار، فقط کافی است از واریانس، رادیکال (یا همون جذر) بگیرید! به همین سادگی!

جدول زیر خلاصه نتایج و محاسبات رو برای سه کلاس فوق نشان میده!

فرمول انحراف معیار و فرمول واریانس + مثال از نحوه محاسبه و مفهوم

والسّلام!

مطالب پیشنهادی!

محاسبه واریانس و انحراف معیار در پایتون

آموزش محاسبه کواریانس در پایتون (numpy.cov) + فرمول !

محاسبه میانگین هارمونیک در پایتون !

آموزش نحوه محاسبه مد (mode) در پایتون !

آموزش کامل و رایگان زبان برنامه نویسی پایتون

کانال تلگرامی ما رو هم دنبال کنید (هر روز تمرین پایتون و مطالب مفیدی قرار میدیم)@Koolac_Org
+