نرم چیست؟ نرم 1 (L1) و نرم 2 (L2) چیست؟ + فرمول و مثال

نرم چیست؟ نرم 1 (L1) و نرم 2 (L2) چیست؟ + فرمول و مثال

در این آموزش به بررسی تعریف نرم، بررسی فرمول نرم 1 و نرم 2 می‌پردازیم و برای هر کدوم یک مثال عددی هم می‌زنیم و به طور کامل، رویه محاسبه رو شرح می‌دیم! در ضمن در مورد فاصله نرم 1 و فاصله نرم 2 هم بحث خواهیم کرد!

نرم چیست و چه کاربردی دارد؟!

نُرم (Norm) در جاهای مختلف کاربرد داره، از محاسبه فاصله گرفته تا استفاده از آن‌ها در نرمال کردن یک بردار! [اگر نمی‌دونید اینایی که گفتم، دقیقاً چی هستن، اشکال نداره، به بحث ما خللی وارد نمی‌کنه! و صرفاً برای کامل بودن مطلب بهشووون دارم اشاره می‌کنم!]

معمولاً نرم رو به عنوان اندازه یا طول یک بردار در نظر می‌گیرن! از معروف‌ترین اعضای این خانواده‌ی گرامی، آقایان نرم 1 (که با L1 نشون میدن) و نرم 2 (که معمولاً با L2 نشون میدن) هستن!

نرم 1 (یا همون L1):

فر کنید مثل تصویر زیر یک بردار داریم که n مولفه داره! مثلاً مولفه اولش هست x1، مولفه دومش هست x2 و الی آخر …!

فرمول محاسبه نرم 1 (L1) رو در تصویر زیر مشاهده می‌کنید! (فقط به فرمول L1 توجه کنید! بقیه رو بعداً می‌گیم!)

درواقع بیان ساده شده‌ی فرمول نرم 1 برابر است با: مجموع قدرمطلق مولفه‌های یک بردار!

با یک مثال، دیگه همه چیز به راحتی فهمیده خواهد شد!

مثال: بردار زیر رو در نظر بگیرید:

[-1,2,3]

برای محاسبه نُرم 1 این بردار فقط کافیه مجموع قدرملطق اعداد بردار رو حساب کنیم!

|-1|+|2|+|3|=1+2+3=6

یعنی نرم 1 (یا همون L1) این بردار شد: 6 !

نرم 2 (یا همون L2):

این مورد (یعنی همین نرم 2) کاربرد خیلی خیلی بیشتری داره و شاید بتونم بگم پرکاربردترین نُرم است!

فرمول این دوست عزیز نیز در همون تصویر بالا بود! (همون که نوشتیم L2)!

اگر بخوام به زبووون خودمون بگم، باید بگم: رادیکالِ مجموعِ مربعاتِ مولفه‌ها ! قطعاً این تعابیر و این الفاظِ به ظاهر خوف و خفن، با مثال زیر خیلی ساده میشن!

مثال: دوباره همون بردار قبلی خودمون که نُرم 1 رو براش حساب کرده بودیم رو در نظر بگیرید!

[-1,2,3]

این دفعه می‌خوایم نُرم 2 این بزرگوار رو حساب کنیم! پس داریم:

کاربرد نُرم در محاسبه فاصله!

اینو قطعاً شاید بیشتر شنیده باشید [یا بعدها بیشتر خواهید شنید!] که مثلاً میگن: فاصله نُرم 2! فاصله نرم 1 و از این الفاظ!

فقط یک نکته بگم! بحث ما در مورد نُرم 1 و 2 به پایان رسیده و از اینجا به بعد داریم یکم نکات اضافه‌تر می‌گیم! اگر حوصله ندارید بی‌خیال شید!

در این بخش دوتا فاصله رو مورد بررسی قرار می‌دیم! که فرمول‌هاشون در زیر می‌بینید!

برای فهم بیشتر، کافیه به مثال زیر توجه کنید! در تصویر زیر دو نقطه در نظر گرفتیم به اسم P1 و P2 (در مختصات دو بعدی)! و بعد اومدیم با هر دو نوعِ فاصله که دربالا فرمولشووون رو آوردیم، محاسبات مربوطه رو انجام دادیم!

خب حالا وقتشه که در مورد اسم این فاصله‌های صحبت کنیم!

چیزهایی که در بالا با اسم d1 حساب کردیم، به اسم فاصله نرم 1 شناخته میشن! البته اسم‌های دیگه‌ای هم داره، مثل فاصله متعامد، عمود برهم، منهتن و …!

و چیزی که در بالا با اسم d2 فرمول واسش گفتیم و مثال واسش آوردیم و حساب کردیم، همان فاصله نرم 2 است که بیشتر به اسم فاصله اُقلیدسی شناخته میشه!

اشاره‌ای مختصر به فاصله نرم p !

فرمول کلی محاسبه فاصله نرم p به صورت زیر است:

حالا اگر شما بجای p بذارید 1، به همووون فرمول فاصله نرم 1 می‌رسید! و اگر بجای p بذارید 2، میرسید به فاصله نرم 2 !

آموزش‌های پیشنهادی!

آموزش کامل و رایگان زبان برنامه نویسی پایتون